Filho de Joaquina Marques da Costa e de Manuel da Costa, Custódio da Costa nasceu em 10 de Janeiro de 1904, na freguesia de Esgueira - Aveiro.
Padeiro anarcossindicalista, foi preso, pela primeira vez, em 30 de Maio de 1932, «por andar a distribuir manifestos de propaganda subversiva e de incitamento à greve geral.» Saiu em liberdade em 15 de junho do mesmo ano.
Em 1933, no âmbito das suas atividades sindicais, representou a Federação da Alimentação no Conselho Confederal da Confederação Geral do Trabalho.
Teve papel de destaque na Greve Geral de 18 de janeiro de 1934, integrando o seu Comité de Acção e colaborando com Eurico Pinto Mateus, João Serra, Joaquim Montes, Manuel Henriques Rijo, Manuel Vilanova/Manuel Rodriguez Vilanueva (padeiro de nacionalidade espanhola) e Romão dos Santos Duarte na preparação, transporte e distribuição de explosivos.
Como sinal para o despoletar do movimento, Custódio da Costa estava encarregue de fazer explodir uma bomba no Miradouro da Senhora do Monte, na Graça, às 3 horas da manhã do dia 18, o que não chegou a suceder por decisão dos dirigentes da CGT perante a forte e inesperada mobilização policial em Lisboa e arredores.
Custódio da Costa foi preso em 4 de fevereiro de 1934 e julgado pelo TME em 8 de Março. Condenado a 12 anos de degredo, ficando, depois, à disposição do Governo, recorreu da decisão, mas esta foi confirmada em acórdão de 15 de março. Seguiu para Angra do Heroísmo em 8 de setembro de 1934 e, depois, em 23 de outubro, integrou a primeira leva de presos políticos para o Tarrafal, onde permaneceu até 1949, pertencendo à respetiva Organização Libertária Prisional.
Cumpridos os 12 anos a que fora condenado pelo TME, foi entregue, em 31 de dezembro de 1945, ao Ministério da Justiça. Continuou detido no Tarrafal mais três anos e oito meses.
Em 6 de agosto de 1949, o Tribunal de Execução das Penas concedeu-lhe a liberdade condicional, por proposta do Director do Campo, sob cinco condições: «fixação da residência em Cabo Verde, sem prejuízo da vinda à Metrópole, mediante autorização da entidade fiscalizadora»; «não frequentar meios ou locais especialmente procurados por elementos suspeitos»; «não acompanhar pessoas suspeitas ou de má conduta, designadamente antigos companheiros que tenham estado ligados a actividades subversivas»; «aceitar a protecção e indicações de uma instituição do Patronato ou de pessoa encarregada de o exercer»; e «a fiscalização fica a cargo do Director da Colónia Penal de Cabo Verde e da Polícia Internacional e de Defesa do Estado».
Saiu em liberdade condicional em 1 de setembro, desembarcou, em 10 de Novembro de 1949, em Lisboa e, no dia seguinte, foi submetido a mais uma sessão de fotografias policiais.
Sem poder ausentar-se do Concelho de Lisboa sem a devida autorização e obrigado a apresentar-se nos Serviços Centrais da PIDE no dia 11 de cada mês, até às 20 horas, foi-lhe concedida a liberdade definitiva por sentença de 24 de outubro de 1952 do Tribunal de Execução das Penas.
Em liberdade, terá entrado para a Marinha Mercante.
Participou, depois do 25 de Abril de 1974, no ressurgir do movimento libertário, com ligações ao jornal A Batalha, em cuja redação foi entrevistado, em Janeiro de 1975, para o Diário de Lisboa por José António Salvador sobre os acontecimentos de 18 de Janeiro de 1934.
Faleceu em 22 de novembro de 1980.